等化子与余等化子

两个平行态射 $f,g:A\rightrightarrows B$ 的"分歧"如何捕捉？等化子选出使 $f,g$ 一致的最大子对象，余等化子把 $f(a)$ 与 $g(a)$ 粘成一点——这是核、像、商对象的最一般抽象。

需先掌握极限与余极限；等化子可由乘积构造。

定义

态射 $f,g:A\to B$ 的等化子（equalizer）是态射 $e:E\to A$，满足 $f\circ e=g\circ e$，且对任意 $x:X\to A$ 使 $f\circ x=g\circ x$，存在唯一 $u:X\to E$ 使 $e\circ u=x$。对偶地，余等化子（coequalizer）是态射 $q:B\to Q$，满足 $q\circ f=q\circ g$，且对任意 $y:B\to Y$ 使 $y\circ f=y\circ g$，存在唯一 $v:Q\to Y$ 使 $v\circ q=y$。

性质

• 等化子必是单态射，余等化子必是满态射
• 在 $\mathbf{Set}$ 中：$E=\{a\in A:f(a)=g(a)\}$；$Q=B/{\sim}$，$\sim$ 为 $f(a)\sim g(a)$ 生成的等价关系
• $f=g$ 时等化子为 $\mathrm{id}_A$、余等化子为 $\mathrm{id}_B$
• 等化子 + 乘积可构造一切极限（见完备范畴）；拉回与推出可由等化子/余等化子配合（余）乘积构造

例子

• $\mathbf{Vect}_k$：$f,g:V\to W$ 的等化子 = $\ker(f-g)$，余等化子 = $W/\operatorname{im}(f-g)$
• $\mathbf{Grp}$：等化子 = $\{a\in A:f(a)=g(a)\}$，是 $A$ 的子群
• $\mathbf{Top}$：余等化子 = 商空间（把 $f(a)$ 与 $g(a)$ 粘合）

应用

在加法范畴中核与余核是等化子/余等化子的特例，构成同调代数的原料；商群、商模、商空间以及群的呈现（生成元与关系的余等化子）都用余等化子统一表达。