自然同构

数学里常区分"碰巧同构"与"本质相同"：有限维线性空间有 $V\cong V^*$，但必须选定基；而 $V\cong V^{**}$ 却不用选基。这个差别正是自然性——自然同构把"不依赖任何选择的同构"精确化，是判断两个构造"本质上一样"的标准。

需先掌握自然变换与态射的分类（同构的定义）。

定义

自然变换 $\alpha:F\Rightarrow G$ 是自然同构，若每个分量 $\alpha_A:F(A)\to G(A)$ 都是同构；此时称函子 $F$ 与 $G$ 自然同构，记 $F\cong G$。
等价地：存在自然变换 $\beta:G\Rightarrow F$ 使得 $\beta\circ\alpha=\mathrm{id}_F$、$\alpha\circ\beta=\mathrm{id}_G$。

性质

• 以函子为对象、自然变换为态射、纵向复合为复合，得到函子范畴 $\mathbf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$（也记 $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$）；其中的同构恰是自然同构
• 自然同构保持范畴论性质：若 $F\cong G$，则 $F(A)\cong G(A)$，且由泛性质刻画的构造在 $F$ 与 $G$ 下相容

例子

• 有限维向量空间：$\mathrm{id}\cong(-)^{**}$（二次对偶），但 $\mathrm{id}\not\cong(-)^*$（对偶空间同构依赖基的选择）
• 范畴等价 $\mathbf{Vect}_k^{\mathrm{fd}}\simeq\mathbf{Mat}(k)$ 中的自然同构 $\eta:\mathrm{id}\Rightarrow G\circ F$ 正是"选定基后的坐标同构"

应用

范畴等价的定义建立在自然同构之上；代数拓扑中"构造自然于某函子"、同调论的公理都以自然同构为语言。