完备范畴

极限不是总能存在；完备范畴保证"所有小图的极限都有"，让极限成为可放心使用的构造。多数日常数学范畴都完备且余完备，预层范畴更是逐点继承完备性。

需先掌握极限，以及它的两个构件乘积与余积与等化子与余等化子。

定义

若 $\mathcal{C}$ 中所有小范畴 $J$ 的图 $D:J\to\mathcal{C}$ 的极限都存在，称 $\mathcal{C}$ 完备（complete）；若所有小图的余极限都存在，称余完备（cocomplete）。

性质

• 判据：$\mathcal{C}$ 完备 $\iff$ 有（小）乘积与两个态射的等化子。构造为

$$\lim D\cong\mathrm{eq}\Big(\prod_i D(i)\rightrightarrows\prod_{u:i\to j}D(j)\Big)$$

两条平行态射分别把 $x$ 送到 $(D(u)(x_i))$ 与 $(x_j)$；等化子恰好选出相容族

• 对偶判据：余完备 $\iff$ 有余积与余等化子
• 完备且余完备的范畴：$\mathbf{Set}$、$\mathbf{Grp}$、$\mathbf{Top}$、$\mathbf{Vect}_k$、$\mathbf{R\text{-}Mod}$、预层范畴 $\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}$（极限逐点计算）
• 有限完备（只要求有限图）弱于完备

例子

• $\mathbf{Set}$ 的极限 = 满足相容条件的所有选择（见极限）
• 预层范畴中的极限 $(\lim D)(A)=\lim_i D(i)(A)$ 逐点取

应用

伴随函子与极限给出大量保持极限的函子；伴随函子存在定理（保持极限 + 解集条件）以完备性为前提；代数几何与拓扑学中，完备范畴上的逆极限与纤维积构造总是合法的。