伴随算子

线性代数中，实矩阵的转置、复矩阵的共轭转置是伴随的基本原型。在希尔伯特空间上，Riesz表示定理保证每个有界线性算子都有唯一的伴随算子——这是谱理论（自伴算子、酉算子）与量子力学观测量的语言前提。

伴随算子

设 $A:H\to H$ 是希尔伯特空间 $H$ 上的有界线性算子。存在唯一有界线性算子 $A^*$（$A$ 的伴随）满足

$$\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle,\quad \forall x,y\in H$$

有限维情形 $A^*$ 即 $A$ 的共轭转置 $\overline{A^T}$。

性质

• $(A+B)^*=A^*+B^*$，$(\lambda A)^*=\overline{\lambda}\,A^*$，$(AB)^*=B^*A^*$，$(A^*)^*=A$
• $\|A^*\|=\|A\|$，$\|A^*A\|=\|A\|^2$
• $\ker A^*=(\operatorname{Im}A)^\perp$，$\ker A=(\operatorname{Im}A^*)^\perp$
• $A^*=A$ 时 $A$ 称为自伴算子（谱为实数）；$A^*A=AA^*$ 为正规算子；$A^*A=I$ 为酉算子

后续

自伴算子与酉算子的谱分解是量子力学可观测量的数学基础，也是泛函分析后续章节（谱理论、紧算子）的主线；正交投影算子满足 $P^2=P=P^*$，是伴随算子最简单的非平凡例子（见正交分解定理）。