自伴算子的定义

实对称矩阵对角化的关键性质是"转置等于自身"；在希尔伯特空间上把转置换成伴随，就得到自伴算子——谱理论的主角，也是量子力学中可观测量的数学模型。前置依赖：伴随算子、希尔伯特空间的定义。

自伴算子

设 $A:H\to H$ 为希尔伯特空间 $H$ 上的有界线性算子。若 $A=A^*$，则称 $A$ 为自伴算子（自共轭算子）。

等价刻画

• 复希尔伯特空间上，$A$ 自伴当且仅当 $\langle Ax,x\rangle\in\mathbb{R}$（$\forall x\in H$）；且 $\langle Ax,x\rangle=0\ (\forall x)\Rightarrow A=0$
• 实希尔伯特空间上，$A$ 自伴当且仅当 $\langle Ax,y\rangle=\langle Ay,x\rangle$（$\forall x,y\in H$）
• $A$ 自伴蕴含正规（$A^*A=AA^*$），反之不真

后续

自伴算子的谱为实数、正算子、正交投影算子与酉算子的分类，以及谱定理都以本定义为起点；无界自伴算子（如动量算子）是量子力学中微分算子的抽象。