正规算子

实对称矩阵可正交对角化、酉矩阵可酉对角化，二者的共同特征是与自身伴随可交换：$A^*A=AA^*$。把这一条单独作为定义就得到正规算子——谱定理适用的最大算子类，也是有限维"酉可对角化"的精确刻画。前置依赖：伴随算子、自伴算子的定义、酉算子。

正规算子

设 $A$ 为希尔伯特空间 $H$ 上的有界线性算子。若

$$A^*A=AA^*,$$

则称 $A$ 为正规算子。等价地：$\lVert Ax\rVert=\lVert A^*x\rVert$（$\forall x\in H$）。

性质

• 包含关系：自伴算子（$A^*=A$）、酉算子（$A^*A=I$）、反自伴算子（$A^*=-A$）均正规；反之不真——酉算子的谱在单位圆周上而非实数
• 范数与谱：$\lVert A\rVert=r(A)$（谱半径等于范数）；一般有界算子仅有 $r(A)\le\lVert A\rVert$
• 特征子空间：属于不同特征值的特征向量正交；$\ker A=\ker A^*$，$H=\ker A\oplus\overline{\operatorname{Im}A}$
• 有限维刻画：$A$ 正规 $\iff$ 酉可对角化（谱定理的矩阵形式）；非正规算子不可酉对角化，如 Jordan 块
• 谱分解：$A=\int_{\sigma(A)} z\,dE(z)$（复值谱测度），从而对任意连续 $f$ 有 $f(A)=\int f(z)\,dE(z)$

例

• 对角算子（特征值可为复数）：正规
• 乘法算子 $M_\phi$（$L^2$ 上乘 $\phi$）：正规
• 自伴、酉、反自伴算子：正规
• 非正规例：$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 不满足 $A^*A=AA^*$，不可酉对角化

后续

正规算子的谱定理（含复谱）统一了自伴与酉两种情形，是 $C^*$ 代数（C星代数）与量子力学（可观测量自伴、时间演化酉）的共同框架；紧正规算子的谱为收敛到 $0$ 的特征值序列，见紧自伴算子。