正交性（泛函分析）

"垂直"是欧氏几何最直观的关系之一。在无穷维内积空间中，垂直（正交）同样由内积刻画，并成为分解、展开与逼近理论的出发点——Fourier 分析本质上就是把函数正交分解到三角函数系上。

正交性

内积空间中，$x\perp y$（正交）指 $\langle x,y\rangle=0$；集合 $S$ 的正交补为 $S^\perp=\{x\in H:\langle x,y\rangle=0,\ \forall y\in S\}$。$S^\perp$ 总是闭子空间，且 $S\subset (S^\perp)^\perp$。

性质

• Pythagoras 定理：$x\perp y\Rightarrow\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$
• Cauchy–Schwarz 不等式的等号条件给出平行的几何含义：$|\langle x,y\rangle|=\|x\|\|y\|$ 当且仅当 $x,y$ 线性相关
• 正交系必线性无关；可数正交系（如 $\{e_n\}$）是展开的基础，见正交基（泛函分析）

后续

正交补是正交分解 $H=M\oplus M^\perp$ 的核心；有限维情形的对应概念见线性代数中的正交向量组与正交补空间。