酉算子

保持内积（从而保持全部几何结构）的满等距称为酉算子，对应有限维的（正）交矩阵/酉矩阵。它既是自伴算子谱定理中把抽象算子化为乘法算子的工具（酉等价），也是量子力学中时间演化的数学模型。前置依赖：伴随算子、自伴算子的定义。

酉算子

希尔伯特空间上的有界线性算子 $U$ 称为酉算子，若

$$U^*U=UU^*=I,$$

等价地：$U$ 是满的等距（$\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle$ 且 $\operatorname{Im}U=H$）。

性质

• $\lVert Ux\rVert=\lVert x\rVert$；$U$ 可逆且 $U^{-1}=U^*$
• $\sigma(U)\subseteq\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$（单位圆周）
• 酉算子全体构成群（酉群），在算子范数下封闭
• $U$ 酉 $\iff$ $U^*$ 酉 $\iff$ $U^{-1}$ 酉；酉算子均正规

酉等价

• 算子 $A,B$ 称为酉等价，若存在酉 $U$ 使 $B=UAU^{-1}=UAU^*$
• 酉等价保持谱、范数、自伴性、紧性——是"同构意义下的同一算子"
• 谱定理的乘法算子形式：每个自伴算子酉等价于某个 $L^2(\mu)$ 上的实乘法算子，见谱定理（有界自伴算子）

例

• 平移算子 $f(x)\mapsto f(x-a)$（$L^2(\mathbb{R})$）
• 适当归一化的 Fourier 变换在 $L^2$ 上酉
• $\ell^2$ 上单侧移位 $U(e_n)=e_{n+1}$ 是等距但不满，非酉

后续

酉算子把自伴算子的谱分解与乘法算子连接起来（谱测度、谱定理）；物理上，薛定谔方程的时间演化算子 $e^{-itH}$ 对自伴 $H$ 恒为酉算子。