算子代数

有界线性算子不仅能加、数乘，还能复合，复合使 $B(X)$ 拥有乘法结构：它既是代数又是赋范空间，且范数满足次乘性，构成含单位元的巴拿赫代数。谱理论、$C^*$-代数与量子力学的可观测量代数都建立在这个结构上。

算子代数

设 $X$ 为巴拿赫空间。$B(X)=B(X,X)$ 以复合为乘法、恒等算子 $I$ 为单位元、赋算子范数，构成含单位元的巴拿赫代数：

$$\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|,\qquad \|I\|=1$$

谱的引入

• 谱集 $\sigma(T)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\lambda I-T\text{ 不可逆}\}$，特征值集 $\sigma_p(T)\subseteq\sigma(T)$
• 若 $|\lambda|>\|T\|$，则 $\lambda I-T$ 可逆（Neumann 级数），故 $\sigma(T)\subset\overline{B(0,\|T\|)}$
• 复数域上 $\sigma(T)$ 是非空紧集
• 谱半径 $r(T)=\sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}=\lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$（Gelfand 公式）

例子

• $B(\mathbb{C}^n)\cong M_n(\mathbb{C})$：非交换（$n\ge2$），$\sigma(T)$ 即特征值集合
• 乘法算子代数 $\{M_g:g\in C[0,1]\}$ 与 $C[0,1]$ 等距同构（交换代数）

后续

交换巴拿赫代数的 Gelfand 表示把算子实现为连续函数；希尔伯特空间上带伴随 $*$ 的 $C^*$-代数与自伴算子的谱分解是量子力学的数学语言（见伴随算子）。