可分希尔伯特空间

现实应用（量子力学、信号处理、数值计算）碰到的希尔伯特空间几乎都可数稠密——即可分的。可分性保证正交基至多可数，使无穷维问题回到可列坐标的 $\ell^2$，从而可以逐项数值逼近。

可分希尔伯特空间

希尔伯特空间 $H$ 称为可分的，若存在可数稠密子集。可分希尔伯特空间恰是有可数正交基的空间，且：

• $H$ 无穷维可分成 $H\cong\ell^2$（等距同构）；
• $H$ 有限维可分成 $H\cong\mathbb{C}^n$（或 $\mathbb{R}^n$）。
  同构由正交基的坐标映射给出。

例子

• $\ell^2$、$L^2[0,1]$、$L^2(\mathbb{R})$、Sobolev 空间 $H^s$ 均可分
• 反例：$L^2(X,\mu)$ 对不可数集配计数测度不可分（正交系不可数）

后续

可数正交基使每个向量有唯一展开 $\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n$（Parseval 恒等式），这是数值方法与谱分解的基础；非可分空间在广义函数与遍历论中也会出现。