内积诱导的范数

内积天然给出"长度"：$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$。这使每个内积空间自动成为赋范空间，且这种范数具有一般范数没有的几何刚性——平行四边形律——它是判断一个范数能否由内积诱导的精确判据。

内积诱导的范数

内积空间 $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 中，$\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ 是范数。对一切 $x,y\in H$ 成立：

• Cauchy–Schwarz 不等式：$|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|$，等号成立当且仅当 $x,y$ 线性相关
• 平行四边形律：$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$
• 极化恒等式（实）：$4\langle x,y\rangle=\|x+y\|^2-\|x-y\|^2$；（复）$4\langle x,y\rangle=\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2$

性质

• 范数 $\|\cdot\|$ 由某个内积诱导 $\iff$ 平行四边形律成立（von Neumann 定理）
• 内积关于范数拓扑连续

后续

由诱导范数可谈完备性；完备的内积空间即希尔伯特空间。Cauchy–Schwarz 不等式是正交性与投影理论的基本工具。