Riesz表示定理

对偶空间（连续线性泛函全体）是分析的核心对象。对一般巴拿赫空间它要靠 Hahn–Banach 定理艰难构造，而希尔伯特空间中的答案异常优美：每个连续线性泛函就是"与某个向量取内积"，空间与自己的对偶完全同构。

Riesz 表示定理

设 $H$ 是希尔伯特空间。对每个连续线性泛函 $\varphi\in H^*$，存在唯一 $y_\varphi\in H$ 使得

$$\varphi(x)=\langle x,y_\varphi\rangle,\quad \forall x\in H$$

且 $\|\varphi\|=\|y_\varphi\|$。映射 $\varphi\mapsto y_\varphi$ 是 $H^*\to H$ 的共轭线性等距同构。

性质

• $H^*\cong H$：希尔伯特空间自对偶（一般巴拿赫空间的对偶没有这种表示，需借助 Hahn–Banach 定理）
• 推论（弱收敛）：$x_n\rightharpoonup x$ 当且仅当 $\langle x_n,y\rangle\to\langle x,y\rangle$ 对一切 $y\in H$ 成立
• 推论：每个有界线性算子存在唯一伴随算子，见伴随算子

后续

Riesz 表示是量子力学中"态=向量、观测=内积"的数学根据，也是谱定理、变分法与偏微分方程弱解理论（Lax–Milgram）的基石。