L2空间

$L^p$ 空间中只有 $p=2$ 拥有天然内积。$L^2$ 因此是分析中最"几何"的函数空间：函数像向量一样有长度、夹角与正交展开，这正是 Fourier 分析能够进行的根源。

$L^2$ 空间

设 $(X,\mathcal{A},\mu)$ 为测度空间。$L^2(\mu)$ 是满足 $\int_X|f|^2\,d\mu<\infty$ 的可测函数全体（几乎处处相等视为同一元素），配内积

$$\langle f,g\rangle=\int_X f\,\overline{g}\,d\mu$$

它是希尔伯特空间（Riesz–Fischer 定理：$L^2$ 按 $L^2$ 范数完备）。

性质

• $L^2$ 是$L^p$ 空间的 $p=2$ 特例；Cauchy–Schwarz 不等式即 Hölder 不等式取 $p=q=2$
• 可测同构下（可分情形）$L^2(\mu)\cong\ell^2$，见可分希尔伯特空间
• $L^2[0,2\pi]$ 中三角函数系 $\{e^{int}/\sqrt{2\pi}\}$ 是正交基，展开即傅里叶级数

后续

$L^2$ 是傅里叶变换有界性与 Plancherel 定理的自然舞台，也是量子力学波函数与 Sobolev 空间的底层函数空间。