正交分解定理

无穷维空间中，把向量"投影"到子空间并求最佳逼近，是变分法与最小二乘的抽象骨架。投影定理保证：对闭子空间，最近点存在且唯一，且误差向量与子空间正交——这就是正交在分析中的威力。

正交分解定理（投影定理）

设 $M$ 是希尔伯特空间 $H$ 的闭子空间。则

1. 每个 $x\in H$ 存在唯一分解 $x=m+m^\perp$，其中 $m\in M$，$m^\perp\in M^\perp$，即 $H=M\oplus M^\perp$；
2. $m$ 是 $M$ 中到 $x$ 的最佳逼近：$\|x-m\|=\inf_{y\in M}\|x-y\|$，且唯一。
   由 $x\mapsto m$ 定义的线性算子 $P_M$ 称为正交投影，满足 $P_M^2=P_M$、$P_M^*=P_M$、$\ker P_M=M^\perp$。

性质

• 若 $M$ 仅是凸闭集（非子空间），最近点仍存在且唯一（凸集投影定理）
• 正交投影是伴随算子理论的第一个例子：$P_M^*=P_M$

后续

正交分解是Riesz表示定理、最佳逼近、最小二乘与正交基展开的共同基础；有限维对应见线性代数中的正交投影。