自然变换

两个函子 $F,G$ 都把同一个范畴映到另一个范畴，但结果"相差多少"？自然变换是函子之间的映射：它给每个对象一个态射 $\alpha_A:F(A)\to G(A)$，并要求这些态射与范畴里的复合"相容"。"自然"这一直觉（如有限维空间的二次对偶 $V\cong V^{**}$ 不依赖基的选择）在数学里正是用自然变换来定义的。

需先掌握函子（协变与反变）与范畴的定义（态射复合）。

定义

设 $F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 为协变函子。自然变换 $\alpha:F\Rightarrow G$ 是一族态射 $\alpha_A:F(A)\to G(A)$（$A\in\mathrm{ob}\,\mathcal{C}$），使得对每个态射 $f:A\to B$ 满足自然性条件

$$\alpha_B\circ F(f)=G(f)\circ\alpha_A$$

即下图交换：沿 $F(f)$ 再沿 $\alpha_B$，与沿 $\alpha_A$ 再沿 $G(f)$ 结果相同。

性质

• 纵向复合：$\alpha:F\Rightarrow G$ 与 $\beta:G\Rightarrow H$ 复合为 $\beta\circ\alpha:F\Rightarrow H$，$(\beta\circ\alpha)_A=\beta_A\circ\alpha_A$
• 横向复合：$\alpha:F\Rightarrow G$（$F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$）与 $\alpha':F'\Rightarrow G'$（$F',G':\mathcal{D}\to\mathcal{E}$）复合为 $\alpha'\circ\alpha:F'\circ F\Rightarrow G'\circ G$，$(\alpha'\circ\alpha)_A=\alpha'_{G(A)}\circ F'(\alpha_A)$
• 纵向与横向复合满足交换律（interchange law）
• 每个分量都是同构时是自然同构

例子

• 行列式：$\det:\mathrm{GL}_n\Rightarrow(-)^{\times}$ 是环范畴上的自然变换：对环同态 $h:R\to S$ 与 $M\in\mathrm{GL}_n(R)$，$h(\det M)=\det(hM)$
• 双重对偶：$\mathrm{id}\Rightarrow(-)^{**}$，$\alpha_V(v)(f)=f(v)$，在线性空间范畴上自然；有限维时是自然同构
• 交换化：$G\mapsto G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ 是从恒等函子到交换化函子的自然变换
• 单点子集：$\eta_A:A\to\mathcal{P}(A)$，$a\mapsto\{a\}$ 是从恒等函子到（协变）幂集函子的自然变换

应用

自然同构与范畴等价都由自然变换定义；米田引理刻画的是全体自然变换 $\mathrm{Hom}(-,A)\Rightarrow F$ 的结构；"构造是否自然"（是否依赖选择）是代数与拓扑中的核心判断。