米田引理

"要知道一个对象是什么，就看它和其他所有对象的关系。"米田引理（Yoneda lemma，得名于日本数学家米田信夫）把这句话变成定理：对象 $A$ 到一切对象的 Hom 集这一整套数据（由反变 Hom 函子 $\mathrm{Hom}(-,A)$ 编码）完全决定了 $A$ 在范畴中的地位——范畴论里没有"看不见的关系"。

需先掌握函子（Hom 函子、反变函子）、自然变换与可表函子。

陈述

设 $\mathcal{C}$ 为局部小范畴，$F:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 为反变函子（预层）。对每个对象 $A$，

$$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(-,A),F)\cong F(A)$$

其中同构把自然变换 $\alpha$ 送到 $\alpha_A(\mathrm{id}_A)$，并且对 $A$ 与 $F$ 都是自然的。

推论

• 米田嵌入 $h:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}$，$A\mapsto\mathrm{Hom}(-,A)$ 是全忠实函子：$\mathrm{Hom}(A,B)\cong\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(-,A),\mathrm{Hom}(-,B))$。故范畴可嵌入其预层范畴，对象完全由 Hom 函子决定
• 唯一决定性：若 $\mathrm{Hom}(-,A)\cong\mathrm{Hom}(-,B)$（自然同构），则 $A\cong B$

例子

取 $F=\mathrm{Hom}(-,B)$ 时，米田引理正是米田嵌入的全忠实性：自然变换 $\mathrm{Hom}(-,A)\Rightarrow\mathrm{Hom}(-,B)$ 与态射 $A\to B$ 一一对应（$\alpha\mapsto\alpha_A(\mathrm{id}_A)$）。

应用

可表函子的表示唯一性、极限的表示、伴随函子的构造，以及代数几何中预层/层与拓扑斯理论都以米田引理为出发点；它是"泛性质"的语言基础。