单纯集

如何用纯组合数据表示拓扑空间？单纯集把空间编码成一族有向单纯形（顶点、边、三角形…）及其面/退化关系，几何实现后又还原为空间——它是"可计算拓扑"的基础，也是高阶范畴论中 $\infty$-范畴的组合模型。

需先掌握函子（反变函子、预层）与范畴的例子（小范畴、$\Delta$ 范畴）。

定义

单纯形范畴 $\Delta$：对象是有限序数 $[n]=\{0<1<\cdots<n\}$，态射是保序映射。一个单纯集是反变函子 $X:\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$（即 $\mathbf{Set}$ 中的预层，见米田引理）；$X_n=X([n])$ 的元素称为 $n$-单纯形。全体单纯集构成范畴 $\mathbf{sSet}=\mathbf{Set}^{\Delta^{\mathrm{op}}}$。

性质

• 几何实现：$|X|=\coprod_n X_n\times\Delta^n/\sim$（把抽象单纯形沿面/退化粘到标准拓扑单纯形）给出函子 $|-|:\mathbf{sSet}\to\mathbf{Top}$
• 神经：小范畴 $\mathcal{C}$ 的神经 $N(\mathcal{C})_n=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Cat}}([n],\mathcal{C})$（$n$ 元可复合态射串）；$N:\mathbf{Cat}\to\mathbf{sSet}$ 是全忠实函子，范畴"是"某种单纯集
• 伴随对：几何实现 $|-|$ 与奇异单纯集 $\operatorname{Sing}(Y)_n=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(\Delta^n,Y)$ 构成 $|-|\dashv\operatorname{Sing}$（见伴随函子与极限），并诱导同伦范畴间的等价
• Kan 复形：满足 horn 填充条件的单纯集，是"可组合的 $\infty$-群胚"，作为同伦论与高阶范畴论的模型

应用

单纯集是代数拓扑计算（同调、同伦群）的离散骨架，也是范畴论通向 $\infty$-范畴与推导类别（Quillen 模型结构）的标准工具；基本群胚的单纯化版本是其中的典型结构。