范畴的例子

范畴的定义 高度抽象，只有落到具体例子才能建立直觉。几乎所有数学分支都自然地构成范畴：对象是该分支的研究对象，态射是保持结构的映射。掌握这些例子，是把新遇到的数学结构"翻译"成范畴论语言的第一步。

需先掌握范畴的定义，并熟悉集合、群、线性空间、拓扑空间等基本对象。

具体范畴

• 集合范畴 $\mathbf{Set}$：对象为集合，态射为集合间映射（函数），复合即函数复合
• 群范畴 $\mathbf{Grp}$：对象为群，态射为群同态
• 线性空间范畴 $\mathbf{Vect}_k$：对象为域 $k$ 上的线性空间，态射为线性映射
• 拓扑空间范畴 $\mathbf{Top}$：对象为拓扑空间，态射为连续映射

抽象范畴

• 离散范畴：只有对象与恒等态射，没有其他态射
• 单对象范畴：只有一个对象，其态射集构成一个幺半群（复合即乘法）
• 群胚：一切态射都可逆的范畴（如群在集合上的作用形成的范畴）

性质

• 具体范畴的态射是某种"结构保持映射"；抽象范畴的态射则完全可以没有内部结构
• 若把 $\mathbf{Grp}$ 的态射只看作底层映射，就得到从 $\mathbf{Grp}$ 到 $\mathbf{Set}$ 的遗忘函子——这是函子概念的雏形

应用

后续的函子、自然变换、极限与余极限都以这些例子为舞台；态射的分类中的单态射、满态射、同构在 $\mathbf{Set}$ 中分别就是单射、满射、双射。