全忠实函子

函子把态射映到态射，但不同函子"翻译的保真度"差别很大：忠实函子不漏掉态射（但可能合并对象），全函子覆盖目标里的一切态射（但可能看得不够细）。全函子、忠实函子、全忠实函子精确刻画这种保真程度，是判断两个范畴"关系多近"的第一把尺子。

需先掌握函子与范畴的定义（$\mathrm{Hom}$ 集与复合）。

定义

设 $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 为函子，对任意对象 $A,B$ 有映射 $F_{A,B}:\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)\to\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B))$，$f\mapsto F(f)$：

• 忠实函子：每个 $F_{A,B}$ 是单射（不同的态射不会映成同一个）
• 全函子：每个 $F_{A,B}$ 是满射（目标中的每个态射都来自某个源态射）
• 全忠实函子：既全又忠实
• 本质满（essentially surjective）：每个 $D\in\mathcal{D}$ 都同构于某个 $F(C)$

性质

• 全忠实函子反映同构：若 $F(f)$ 是同构，则 $f$ 是同构
• 全忠实且本质满 ⟺ $F$ 给出一个范畴等价
• 忠实不一定全，全不一定忠实（见例子）

例子

• 遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$：忠实不全——不同的群同态给出不同的底层映射，但并非每个集合映射都是群同态
• 包含函子 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Grp}$：全忠实——阿贝尔群之间的群同态恰是阿贝尔群同态
• 米田嵌入 $A\mapsto\mathrm{Hom}(-,A)$（见米田引理）：全忠实，这是"对象由 Hom 集决定"的精确表述

应用

与"本质满"合起来给出范畴等价的判定；分类问题中"某范畴与已知范畴等价"常通过构造全忠实函子并验证本质满来完成。