可表函子

很多"忘记结构"的函子其实由某个通用对象完全决定：例如把群送到其底层集合的遗忘函子，因为"给 $G$ 指定一个元素 $g$"这件事等价于同态 $\mathbb{Z}\to G$（$1\mapsto g$），于是 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Grp}}(\mathbb{Z},G)\cong G$。可表函子把这类"泛性质"统一为自然同构 $\mathrm{Hom}(A,-)\cong F$，是米田引理最直接的应用。

需先掌握函子（Hom 函子）、自然同构与米田引理。

定义

函子 $F:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 是可表的（representable），若存在对象 $A\in\mathcal{C}$ 与自然同构

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,-)\cong F$$

此时 $(A,\text{表示})$ 称为 $F$ 的表示。反变函子同理：$F\cong\mathrm{Hom}(-,A)$。

性质

• 表示唯一性（米田引理）：表示若存在则本质唯一——两个表示之间的同构由 $\mathrm{id}_A$ 的像决定
• 泛元素：$F\cong\mathrm{Hom}(A,-)$ 等价于存在 $u\in F(A)$，使每个 $x\in F(B)$ 都是某个 $f:A\to B$ 的像 $F(f)(u)$；"泛性质"正是这个表述

例子

• 遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ 由 $\mathbb{Z}$ 表示：$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Grp}}(\mathbb{Z},G)\cong G$，$\varphi\mapsto\varphi(1)$
• 遗忘函子 $U:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ 由单点空间 $\{*\}$ 表示：$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(\{*\},X)\cong X$，$f\mapsto f(*)$
• 环范畴的遗忘函子由 $\mathbb{Z}[x]$ 表示：$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}[x],R)\cong R$，$\varphi\mapsto\varphi(x)$
• 幂集函子 $\mathcal{P}:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ 由 $\{0,1\}$ 表示：$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,\{0,1\})\cong\mathcal{P}(A)$，$\chi\mapsto\chi^{-1}(1)$（特征函数）

应用

极限与余极限、伴随函子（$F\dashv G$ 等价于 Hom 函子的可表性）都以可表函子表述；代数几何中的模空间、表示论中的"泛对象"都是可表函子的实例。