算子范数

有界性只断言"存在常数 $C$"，但哪个常数最优？算子范数把最佳常数提取出来，使算子成为可以加减、比较、取极限的普通元素，$B(X,Y)$ 由此获得完整的赋范空间结构。

算子范数

设 $T\in B(X,Y)$，定义

$$\|T\|=\sup_{x\neq0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|$$

它是 $B(X,Y)$ 上的范数，且满足 $\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|$ 与次乘性 $\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|$。

性质

• 范数公理：$\|T\|=0\iff T=0$；齐次性 $\|\lambda T\|=|\lambda|\,\|T\|$；三角不等式 $\|S+T\|\le\|S\|+\|T\|$
• 次乘性推论：$\|T^n\|\le\|T\|^n$
• 若 $X\neq\{0\}$，则 $\|I\|=1$
• 有限维空间中算子范数即矩阵的谱范数，见有限维空间上的线性算子

例子

• 乘法算子 $M_g$：$\|M_g\|=\|g\|_\infty$
• 对角矩阵（欧氏范数下）：$\|A\|_2=\max_i|\lambda_i|$
• 平移算子 $S$：$\|S\|=1$，且 $\|S^n\|=1$（不随 $n$ 衰减）

后续

赋算子范数后 $B(X,Y)$ 成为有界线性算子空间；次乘性使 $B(X)$ 成为巴拿赫代数，谱半径公式 $r(T)=\lim\|T^n\|^{1/n}$ 正是次乘性的深刻推论。