典范嵌入

每个 $x\in X$ 天然给出 $X^*$ 上的连续线性泛函"在 $x$ 处取值"，这把 $X$ 等距地嵌入到二次对偶 $X^{**}$ 中。线性代数中有限维空间 $V\cong V^{**}$ 是同构；无穷维时嵌入是否满决定了 $X$ 是否自反。前置依赖：对偶空间（泛函分析）、连续线性泛函。

典范嵌入

定义 $J:X\to X^{**}$ 为

$$J(x)(\varphi)=\varphi(x)\qquad(\varphi\in X^*)$$

$J$ 是线性等距：由 Hahn–Banach 定理 $\|J(x)\|=\sup_{\|\varphi\|\le1}|\varphi(x)|=\|x\|$。

性质

• $J$ 单射、等距，$X$ 与 $J(X)$ 等距同构；$J(X)$ 是 $X^{**}$ 的闭子空间（$X$ 完备时）
• $J$ 是自然的：不依赖基的选取；对 $T\in B(X,Y)$ 有 $T^{**}\circ J_X=J_Y\circ T$（与对偶算子相容）
• 有限维时 $J$ 是同构（$\dim V=\dim V^{**}$）；无穷维时 $J$ 未必满

例子

• $X=c_0$：$J(c_0)\subset\ell^\infty\cong(c_0)^{**}$ 为真包含（$c_0$ 非自反）
• $X=\ell^p$（$1<p<\infty$）：$J$ 是同构，$\ell^p$ 自反
• 希尔伯特空间：$J$ 与 Riesz 表示复合后给出 $H\cong H^*$（Riesz表示定理）

后续

$J$ 是否满射定义了自反空间；$J$ 还给出 $X$ 上弱拓扑与 $X^{**}$ 上弱*拓扑的关系，是弱紧性（Eberlein–Šmulian）与Alaoglu定理叙述的载体。