弱星拓扑

研究对偶空间 $X^*$ 自身时，更自然的拓扑不是由 $X^{**}$ 定义（太大），而是由 $X$ 本身定义：弱*拓扑只要求"在每个点 $x$ 处取值"的求值映射连续。它给出最重要的紧性定理——Banach–Alaoglu，是测度弱收敛与广义函数理论的拓扑框架。前置依赖：对偶空间（泛函分析）、弱拓扑。

弱*拓扑

$X^*$ 上弱*拓扑 $\sigma(X^*,X)$ 是使求值映射 $\mathrm{ev}_x:\varphi\mapsto\varphi(x)$（$x\in X$）全体连续的最粗拓扑。$\varphi_\alpha\to\varphi$（弱*）当且仅当 $\varphi_\alpha(x)\to\varphi(x)$ 对一切 $x\in X$ 成立。

性质

• $\sigma(X^*,X)$ 是 Hausdorff 局部凸拓扑；弱*收敛 = 逐点收敛（点态收敛）
• 弱*拓扑比弱拓扑 $\sigma(X^*,X^{**})$ 粗；$X$ 自反时两者重合（自反空间）
• $X$ 可分时 $X^*$ 的单位球在弱*拓扑下可度量（从而序列与网一致）
• 一致有界原理（一致有界原理）给出：弱*收敛序列必范数有界

应用

• 测度的弱收敛：概率测度 $\mu_n\Rightarrow\mu$ 即 $C_b$（或 $C_0$）上泛函的弱*收敛
• 广义函数（分布）$\mathcal{D}'$：$\mathcal{D}'$ 上的收敛是 $C_c^\infty$ 上泛函的弱*收敛
• 自反空间中弱拓扑与弱拓扑重合，弱紧性转化为弱紧性

后续

弱拓扑的核心结果是单位球的弱紧性（Alaoglu定理）；配合可分性，弱紧 + 可度量给出"有界序列有弱收敛子列"，这是 $L^1$ 等非自反空间仍能提取收敛子列的替代方案。