弱收敛

范数收敛（强收敛）在无穷维中过于苛刻：$\ell^2$ 的标准正交基 $e_n$ 按范数不收敛（$\|e_n-e_m\|=\sqrt2$），但"逐坐标"趋于 $0$。弱收敛放松要求——只要求被每个连续线性泛函作用后收敛，是分析学处理有界但不强收敛序列的默认工具。前置依赖：对偶空间（泛函分析）、一致有界原理。

弱收敛

设 $X$ 为赋范空间，$x_n,x\in X$。若对每个 $\varphi\in X^*$ 都有

$$\varphi(x_n)\to\varphi(x)$$

则称 $x_n$ 弱收敛于 $x$，记 $x_n\rightharpoonup x$。范数收敛 $x_n\to x$ 蕴含弱收敛；在有限维空间中两者等价。

性质

• 弱收敛序列必（范数）有界（把 $x_n$ 看作 $X^{**}$ 中元素用一致有界原理）
• 极限唯一；$x_n\rightharpoonup x$ 蕴含 $\|x\|\le\liminf\|x_n\|$（下半连续性）
• 希尔伯特空间中 $x_n\rightharpoonup x$ 当且仅当 $\langle x_n,y\rangle\to\langle x,y\rangle$（Riesz 表示，见Riesz表示定理）

例子

• $\ell^2$ 中标准基 $e_n\rightharpoonup0$（Bessel 不等式：$\sum|\langle e_n,y\rangle|^2=\|y\|^2<\infty$），但范数不收敛
• $L^2[0,1]$ 中 $f_n(t)=\sin(nt)\rightharpoonup0$（黎曼-勒贝格引理）
• $c_0$ 中 $e_n\rightharpoonup0$（$c_0^*\cong\ell^1$，$\varphi(e_n)=a_n\to0$）

与强收敛的差别

• 弱收敛 + $\|x_n\|\to\|x\|$ $\Rightarrow$ 强收敛（Radon–Riesz 性质，Hilbert 与 $L^p$ 空间成立）
• 弱收敛序列的凸组合可强收敛到极限（Mazur 定理，见Hahn-Banach分离定理）

后续

弱收敛在变分法（能量泛函沿弱收敛子列取极小）、偏微分方程弱解与遍历论中反复出现；其拓扑化即弱拓扑。