对偶空间的例子

对偶空间不是抽象空谈：序列空间、函数空间与连续函数空间的对偶都可以"具体算出来"，且这些表示（$(\ell^p)^*\cong\ell^q$、$(L^p)^*\cong L^q$ 等）是对偶空间理论最有用的部分——把抽象泛函还原成"与某元素配对"。前置依赖：对偶空间（泛函分析）、Lp空间的定义。

经典对偶空间一览

• $(\ell^1)^*\cong\ell^\infty$：泛函 $\varphi(x)=\sum a_n x_n$（$a=(a_n)\in\ell^\infty$），$\|\varphi\|=\|a\|_\infty$
• $(\ell^p)^*\cong\ell^q$（$1<p<\infty$，$1/p+1/q=1$）：Hölder 不等式给出等距同构
• $(c_0)^*\cong\ell^1$：收敛于 $0$ 的序列空间，其对偶是绝对可和序列
• $(L^p)^*\cong L^q$（$1\le p<\infty$）：$\varphi(f)=\int fg$，由 Riesz 表示定理（或拉东-尼科迪姆）保证
• $C[a,b]^*$：全体（正则）博雷尔测度（Riesz–Markov 定理），$\varphi(f)=\int f\,d\mu$
• 希尔伯特空间 $H^*\cong H$：$\varphi_y(x)=\langle x,y\rangle$，见Riesz表示定理

性质

• 上述同构均为等距：$\|\varphi\|=\|g\|_q$（或 $\|y\|$），对偶范数与被表示元素范数一致
• $p=1$ 时 $(L^1)^*\cong L^\infty$；$(\ell^\infty)^*$ 不能表示为 $\ell^1$（需 $\mathrm{ba}$ 空间），故 $\ell^1$、$L^1$ 不自反（见自反空间）
• $c_0$ 的对偶是 $\ell^1$，但 $(\ell^1)^*\cong\ell^\infty$ 更大——双重对偶 $c_0^{**}\cong\ell^\infty$ 严格变大（典范嵌入）

后续

这些具体表示是弱收敛（如 $\ell^p$ 中 $e_n\rightharpoonup0$）、测度弱收敛与广义函数论（分布的对偶）的基础，也用于Hahn-Banach定理的算例。