Hahn-Banach分离定理

解析形式的 Hahn–Banach 定理把泛函从子空间延拓出去；几何形式则反过来把"泛函存在"翻译成"凸集可被超平面分开"。直观上：两个不交的凸集之间总能插入一个（平移）超平面。它是凸分析、最优化与经济学均衡理论的基石。前置依赖：Hahn-Banach定理、对偶空间（泛函分析）。

分离定理（几何形式）

设 $X$ 为赋范空间，$A,B\subset X$ 为不交凸集，且 $A$ 有内点（或 $A$ 紧、$B$ 闭）。则存在非零 $\varphi\in X^*$ 与 $t\in\mathbb{R}$ 使

$$\varphi(a)\le t\le\varphi(b)\qquad(\forall a\in A,\,b\in B)$$

即闭超平面 $\{\varphi=t\}$ 分离 $A$ 与 $B$。若 $A$ 紧、$B$ 闭不交，可做到严格分离（$\sup\varphi(A)<\inf\varphi(B)$）。

支撑超平面

• 闭凸集 $C$ 的边界点 $x_0$ 处存在支撑超平面：$\varphi(x_0)=\sup_C\varphi$
• 凸集 $C$ 是其所有包含它的闭半空间之交（$\bigcap_{\varphi}\{x:\varphi(x)\le\sup_C\varphi\}$）

推论与应用

• Mazur 定理：赋范空间中凸集的范数闭包等于弱闭包（配合弱拓扑）
• 极小化问题的刻画：$x^*$ 极小化凸函数 $f$ 当且仅当 $0\in\partial f(x^*)$（次梯度）
• 对偶锥与对偶问题（Lagrange 对偶）的几何基础

后续

分离定理把几何直观变成分析工具，用于凸优化、博弈论（均衡存在性）、以及对偶空间在约束理论中的应用。