连续线性泛函

"用标量函数探测空间"是分析学最有力的方法：连续线性泛函把每个向量映成一个数，从外部观察空间的几何。全体连续线性泛函构成对偶空间，是弱收敛、Hahn–Banach 定理与 Riesz 表示等一切对偶理论的载体。

连续线性泛函

设 $X$ 为赋范空间，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。有界线性算子 $\varphi:X\to\mathbb{K}$ 称为连续线性泛函。其全体

$$X^*=B(X,\mathbb{K})$$

赋算子范数 $\|\varphi\|=\sup_{\|x\|\le1}|\varphi(x)|$，称为 $X$ 的对偶空间。

例子

• 求值泛函 $\mathrm{ev}_t:C[a,b]\to\mathbb{R}$，$f\mapsto f(t)$，$\|\mathrm{ev}_t\|=1$
• 积分泛函 $I(f)=\int_a^b f$，$\|I\|=b-a$
• 内积泛函 $\varphi_y(x)=\langle x,y\rangle$（$H$ 为希尔伯特空间），$\|\varphi_y\|=\|y\|$，见Riesz表示定理
• $\ell^2$ 上的坐标泛函 $x\mapsto x_n$

性质

• $\ker\varphi$ 是闭子空间，且余维数为一（闭超平面）
• $\varphi$ 连续 $\iff$ $\ker\varphi$ 闭
• 不连续的线性泛函存在（依赖选择公理），其图像在 $X\times\mathbb{K}$ 中稠密

后续

对偶空间 $X^*$ 的"丰富性"由 Hahn–Banach 定理保证（泛函分析后续章节）；在希尔伯特空间上 $X^*\cong X$（Riesz表示定理），在一般巴拿赫空间上则依赖对偶空间的典范嵌入 $X\hookrightarrow X^{**}$。