对偶算子

算子 $T:X\to Y$ 与对偶空间配对后，自然诱导出反向的算子 $T^*:Y^*\to X^*$：把 $Y$ 上的泛函"拉回"成 $X$ 上的泛函。对偶算子（转置算子）把对 $T$ 的研究转化为对 $T^*$ 的研究，是算子理论中值域、核与可逆性讨论的枢纽。前置依赖：有界线性算子的定义、对偶空间（泛函分析）、连续线性泛函。

对偶算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y)$。定义 $T^*:Y^*\to X^*$ 为

$$(T^*\psi)(x)=\psi(Tx)\qquad(\psi\in Y^*,\,x\in X)$$

即 $T^*\psi=\psi\circ T$。$T^*$ 线性有界，且 $\|T^*\|=\|T\|$。

性质

• $(S T)^*=T^*S^*$（反序）；$\mathrm{id}_X^*=\mathrm{id}_{X^*}$
• $T^{**}:= (T^*)^*:X^{**}\to Y^{**}$ 满足 $T^{**}\circ J_X=J_Y\circ T$（与典范嵌入相容）
• $T$ 可逆（有界逆）$\iff$ $T^*$ 可逆，且 $(T^{-1})^*=(T^*)^{-1}$；谱满足 $\sigma(T^*)=\sigma(T)$
• $T^*$ 单射 $\iff$ $T(X)$ 稠密；$T(X)$ 闭（值域闭）$\iff$ $T^*(Y^*)$ 闭（闭值域定理）
• 希尔伯特空间情形：$T^*$ 即伴随算子（$\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$）

与三大原理的关系

• $T$ 满射 $\iff$ $T^*$ 有下界（由Hahn-Banach定理与开映射定理）
• 闭值域定理 / 开映射定理的表述常借助 $T^*$ 的值域与核

后续

对偶算子把算子方程 $Tx=y$ 的对偶方程 $T^*\psi=\eta$ 联系起来（Fredholm 交替）；在谱理论、紧算子（$T^*$ 紧 $\iff$ $T$ 紧）与 Banach 空间几何中持续出现。