凸泛函的极小值判别

第一变分为零一般只给出驻值条件。若泛函在容许集上凸，驻值条件就能控制与所有容许函数的比较。

凸性与全局极小

设 $\mathcal A$ 是实赋范空间中的凸集，$J$ 在其邻域可微，并且对任意 $y,z\in\mathcal A$ 与 $t\in[0,1]$ 有

$$J[(1-t)y+tz]\le(1-t)J[y]+tJ[z].$$

这称为 $J$ 在 $\mathcal A$ 上凸。固定 $y_*,z\in\mathcal A$，令 $\phi(t)=J[y_*+t(z-y_*)]$。凸性给出

$$\frac{\phi(t)-\phi(0)}t\le\phi(1)-\phi(0)\qquad(0<t\le1).$$

令 $t\downarrow0$，得到

$$J[z]\ge J[y_*]+DJ[y_*](z-y_*).$$

所以，若所有 $z\in\mathcal A$ 都满足

$$DJ[y_*](z-y_*)\ge0,$$

则 $y_*$ 是全局极小元。对于只有固定端点的仿射容许集，驻值条件使此导数恒为零，因而足以得到全局极小。

若 $J$ 在 $\mathcal A$ 上严格凸，两个不同极小元的中点会具有更小的值，所以极小元至多一个。凸性与严格凸性本身都不保证极小元存在；存在性另见变分法的直接方法。

积分泛函的判别

对

$$J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx,$$

若对每个固定 $x$，$L(x,u,p)$ 关于 $(u,p)$ 联合凸，则 $J$ 在凸的容许集上凸。点态的凸性不等式积分后就是泛函的凸性不等式。

只有关于 $p$ 的凸性，一般不足以断言 $J$ 关于整个函数凸，因为 $u$ 方向仍可能出现负曲率。关于 $p$ 的凸性在直接方法中另有用途，不能混用两种判断。

当 $L\in C^2$ 时，关于 $(u,p)$ 的 Hessian 半正定可用于检查联合凸性，但须在相关凸定义域上成立；只检查某条候选曲线上的二阶系数，通常只能提供第二变分的信息。

有积分等式约束时，容许集未必凸，应先检查集合结构。线性端点条件和线性积分约束保持凸性，非线性约束不能一概照搬本结论。