黎曼流形

"形状"不是流形本身固有的：同一光滑流形可以装备不同的度量而呈现不同的几何。带上一个黎曼度量的流形称为黎曼流形，它是可以测量长度、角度、体积与曲率的空间，也是黎曼几何的基本对象。

需先掌握微分流形与黎曼度量。

定义

黎曼流形是二元组 $(M,g)$，其中 $M$ 是光滑流形，$g$ 是 $M$ 上的黎曼度量。

等距

微分同胚 $f:(M,g)\to(N,h)$ 称为等距，若 $f^*h=g$，即对任意 $p$、$X,Y\in T_pM$：

$$h_{f(p)}(\mathrm{d}f_p X,\ \mathrm{d}f_p Y)=g_p(X,Y)$$

等距保持长度、角度、体积与曲率——它们是黎曼几何的"同构"。

性质

• 任何光滑流形上都存在黎曼度量：利用单位分解把局部欧氏度量粘合为整体 $g=\sum_\alpha\rho_\alpha g^{(\alpha)}$
• 诱导度量：黎曼流形的子流形天然继承度量，成为黎曼流形

示例

• $(\mathbb{R}^n,\delta_{ij})$ 欧氏空间
• $(S^n,g_{\text{诱导}})$ 单位球面
• $(\mathbb{H}^n,g_{\text{双曲}})$ 双曲空间（负常曲率模型）

应用

黎曼流形上由度量唯一确定Levi-Civita联络，从而定义平行移动、测地线方程与黎曼曲率张量；常曲率空间是其中结构最简单的模型。