数量曲率

对 Ricci 张量再取一次迹，得到最粗的曲率标量——数量曲率。它是截面曲率的全平均，控制测地球体积对欧氏体积的首阶修正，也在广义相对论与几何分析中扮演角色。

需先掌握Ricci曲率与黎曼度量。

定义

数量曲率是 Ricci 张量关于度量的迹：

$$s=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}=g^{ij}\operatorname{Ric}_{ij}=\operatorname{Ric}^i{}_i$$

对规范正交基：$s=\sum_i\operatorname{Ric}(e_i,e_i)$。

性质

• 度量整体缩放 $g\mapsto \lambda^2 g$ 时 $s\mapsto \lambda^{-2}s$（曲率随尺度倒数平方变化）
• 体积展开：小半径测地球满足

  $$\operatorname{Vol}(B_r(p))=\omega_n r^n\left(1-\frac{s(p)}{6(n+2)}r^2+O(r^4)\right)$$

  其中 $\omega_n$ 为 $n$ 维单位球体积——数量曲率决定体积与欧氏情形的首阶偏差
• 爱因斯坦流形上 $s$ 为常数；二维时 $s=2K$（高斯曲率的两倍）

示例

• 单位球面 $S^n$：$s=n(n-1)$
• 双曲空间 $\mathbb{H}^n$：$s=-n(n-1)$
• 平坦空间：$s=0$

应用

• 几何分析：Yamabe 问题（在共形类中找常数量曲率度量）
• 广义相对论：爱因斯坦场方程取迹得四维真空 $s=4\Lambda$（$\Lambda$ 为宇宙学常数），$\Lambda=0$ 时 $s=0$