测地线方程

直线的本质是"速度向量沿自身平行"。在黎曼流形上把这句翻译成方程就得到测地线：既"尽可能直"，又在局部是最短路径。它是曲面论测地线概念在一般黎曼流形上的推广。

需先掌握平行移动与Levi-Civita联络；曲面情形见测地线。

定义

曲线 $\gamma$ 是测地线，若其速度向量沿自身平行：

$$\frac{D\gamma'}{dt}=0$$

即 $\nabla_{\gamma'}\gamma'=0$。坐标形式（测地线方程）：

$$\ddot{\gamma}^k+\Gamma^k_{ij}\,\dot{\gamma}^i\dot{\gamma}^j=0$$

性质

• 测地线以常速率运行：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\|\gamma'\|^2=2g\!\left(\dfrac{D\gamma'}{dt},\gamma'\right)=0$
• 初值 $(p,v)$ 唯一确定测地线（二阶常微分方程解的存在唯一性）
• 局部最短性：充分短的测地线段是两点间最短曲线（长度变分的极小元）
• 与曲面论一致：曲面上测地线方程即 $\gamma''$ 的切向分量为零

指数映射与完备性

$\exp_p(v)=\gamma_v(1)$（$\gamma_v$ 为初值 $(p,v)$ 的测地线）定义指数映射，给出法坐标。若测地线可无限延伸，称 $(M,g)$ 测地完备；Hopf–Rinow 定理说明这等价于度量空间 $(M,d_g)$ 完备，且任意两点可由最短测地线相连。

示例

• $\mathbb{R}^n$：直线
• $S^n$：大圆
• 双曲空间 $\mathbb{H}^n$：测地线为模型中的直线族或正交圆族

应用

测地线的偏离（Jacobi 场）度量曲率；法坐标把局部几何拉直，用于推导黎曼曲率张量的对称性与体积展开；广义相对论中自由粒子沿测地线运动。