黎曼度量

要测量流形上曲线的长度、切向量的夹角与区域的体积，必须在每个切空间上指定一个随点光滑变化的内积——这就是黎曼度量。它是曲面第一基本形式在高维流形上的推广。

需先掌握切空间与张量场；曲面情形的内积见第一基本形式。

定义

光滑流形 $M$ 上的黎曼度量是光滑 $(0,2)$ 型对称正定张量场 $g$：对每点 $p$ 给出内积

$$g_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}$$

满足对称性 $g(X,Y)=g(Y,X)$ 与正定性 $g(X,X)\ge 0$（等号仅当 $X=0$）。

在坐标卡 $(x^1,\dots,x^n)$ 下 $g=g_{ij}\,\mathrm{d}x^i\otimes \mathrm{d}x^j$，其中

$$g_{ij}=g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right)$$

构成对称正定矩阵函数。

长度、角度与体积

• 切向量长度：$\|v\|=\sqrt{g(v,v)}$
• 夹角：$\cos\theta=\dfrac{g(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}$
• 体积元：$\mathrm{d}V_g=\sqrt{\det(g_{ij})}\,\mathrm{d}x^1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^n$

示例

• $\mathbb{R}^n$ 的欧氏度量 $g_{ij}=\delta_{ij}$
• 球面 $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 的诱导度量（限制欧氏度量）
• 单位球面在球坐标下的度量 $\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2$（$S^2$）

应用

度量是黎曼流形的组成部分；长度、夹角、体积的变分直接导出测地线方程，而曲率量（黎曼曲率张量及其收缩）都由度量决定。