单位分解

许多几何构造（度量、积分）先局部定义再粘成整体，粘合需要严格的工具。单位分解把整体函数分解为局部支撑光滑函数的和，是"从局部到整体"的标准方法。

需先掌握微分流形、光滑映射，并熟悉紧致性与第二可数性。

定义

流形 $M$ 上的单位分解是一族光滑函数 $\rho_\alpha:M\to[0,1]$ 满足：

1. 局部有限：每点只有有限个 $\rho_\alpha$ 非零；
2. 各 $\rho_\alpha$ 的支撑 $\operatorname{supp}\rho_\alpha$ 紧；
3. $\sum_\alpha\rho_\alpha=1$。

若每个 $\operatorname{supp}\rho_\alpha$ 都含于开覆盖 $\{U_\alpha\}$ 的某个成员，则称单位分解从属于该覆盖。

存在性

第二可数（仿紧）流形 $M$ 上，对任意开覆盖都存在从属于它的单位分解。构造的关键是 bump 函数（紧支撑光滑函数，在给定紧集上恒为 1），它通过光滑逼近示性函数得到。

性质

• 局部有限性保证 $\sum_\alpha\rho_\alpha=1$ 在每点都是有限和，无需讨论收敛
• 单位分解可用来"逐点定义、整体拼合"：只要构造在局部坐标下逐点成立，加权和就给出整体对象

应用

• 在任意流形上构造黎曼度量：局部用欧氏度量 $g^{(i)}$，整体 $g=\sum_\alpha\rho_\alpha g^{(i)}$
• 定义流形上的积分：$\int_M\omega=\sum_\alpha\int_M\rho_\alpha\omega$
• 把局部定义的张量场、微分形式粘为整体对象；Sard 定理、Whitney 嵌入定理的证明

后续

单位分解使"局部有、整体也有"成为流形上的通用原则；黎曼几何一章中度量、体积形式的存在性都依赖它。