常曲率空间

截面曲率处处相同的空间是"最均匀"的黎曼流形：任一点任一方向都等价。它们是理解一般流形曲率的模型空间，也是双曲几何与广义相对论时空的舞台。

需先掌握截面曲率与黎曼流形；测地线的描述见测地线方程。

定义

截面曲率 $K$ 恒为常数 $c$ 的黎曼流形称为常曲率空间（空间形式）。此时曲率张量取标准形式

$$R(X,Y)Z=c\big(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y\big)$$

分类

三类单连通完备模型空间：

$c$	模型空间	名称
$0$	$\mathbb{R}^n$	欧氏空间
$1$	$S^n$	球面
$-1$	$\mathbb{H}^n$	双曲空间

性质

• 分类定理：完备、单连通的常曲率 $c$ 流形等距于对应模型空间；一般情形成立模型空间的商空间
• 局部性质相同：常曲率空间局部等距于模型空间（曲率张量公式相同）
• 可展曲面（如圆柱面）$K=0$，局部等距于平面，是"局部欧氏"的二维例子，见高斯曲率与平均曲率

示例

• $K=0$：$\mathbb{R}^n$、圆柱面、环面（平坦）
• $K=1$：单位球面 $S^n$
• $K=-1$：双曲空间 $\mathbb{H}^n$（Poincaré 圆盘/上半平面模型）

应用

常曲率空间是Ricci曲率（爱因斯坦流形）与数量曲率计算的基本案例；双曲空间是双曲几何与数论（模空间）的模型；广义相对论中 de Sitter 时空（$c>0$）与 anti-de Sitter 时空（$c<0$）是洛伦兹情形的对应物。