协变导数

微积分中"沿曲线的导数"需要比较相邻点上的向量；在流形上这必须借助联络。协变导数是普通方向导数的推广，也是定义平行移动与测地线方程的原料。

需先掌握仿射联络与切空间；向量场的整体理论见向量场与流。

定义

设 $\gamma:I\to M$ 为曲线，$V$ 为沿 $\gamma$ 的向量场。$V$ 沿 $\gamma$ 的协变导数为

$$\frac{DV}{dt}=\nabla_{\gamma'(t)}V$$

在坐标下

$$\left(\frac{DV}{dt}\right)^k=\frac{\mathrm{d}V^k}{\mathrm{d}t}+\Gamma^k_{ij}\,\gamma'^i V^j$$

张量场的协变导数

联络按 Leibniz 法则延拓到任意 $(r,s)$ 型张量场 $T$：

$$(\nabla_X T)^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}=\partial_X T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}+\sum_a \Gamma^{i_a}_{kl}X^k T^{\cdots l\cdots}{}_{\cdots}-\sum_b \Gamma^{l}_{k j_b}X^k T^{\cdots}{}_{\cdots l\cdots}$$

性质

• 沿曲线可加、满足 Leibniz：$\dfrac{D}{dt}(fV)=f'\,V+f\dfrac{DV}{dt}$
• Levi-Civita 联络下保内积：$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}g(V,W)=g\left(\dfrac{DV}{dt},W\right)+g\left(V,\dfrac{DW}{dt}\right)$
• $\mathbb{R}^n$ 中 $\Gamma=0$，协变导数退化为普通导数

示例

• $\mathbb{R}^n$ 中曲线 $\gamma$：$\dfrac{DV}{dt}=V'(t)$
• 球面 $S^2$ 上沿纬线的切向量场：协变导数含 $\Gamma$ 项，等于向切平面的投影

应用

协变导数为零给出平行移动；$\dfrac{D\gamma'}{dt}=0$ 即测地线方程；协变导数的交换差（不可交换性）给出黎曼曲率张量。