调和映射

调和映射把调和函数与测地线的概念统一：它是能量泛函的临界点，同时推广了实值调和函数（目标为 $\mathbb{R}$）与测地线（定义域为一维）。调和映射为流形间映射提供"最规范"的代表。

需先掌握黎曼流形与微分形式；一维情形见测地线方程。

定义

映射 $u:(M,g)\to(N,h)$ 的能量密度 $e(u)=\tfrac12\|du\|^2$，能量 $E(u)=\int_M e(u)\,\mathrm{d}V_g$。临界点满足张量方程

$$\operatorname{tr}_g(\nabla\,\mathrm{d}u)=0$$

称为调和映射。$N=\mathbb{R}$ 时即 $\Delta u=0$；$M$ 一维时即测地线。

性质

• 在等温坐标下，极小曲面可视为共形调和浸入（见极小曲面）
• 目标流形负曲率时，同伦类内调和映射唯一且能量最小（Eells–Sampson 存在性）
• 能量沿热流递减，这是存在性证明的基本方法

应用

调和映射是几何分析与拓扑的工具：用于刚性定理（Siu 强刚性）、构造极小子流形，也是代数几何中稳定映射（Gromov–Witten 不变量）的理论基础。