广义相对论

广义相对论把引力重新解释为时空的弯曲：物质与能量决定时空的黎曼度量（取洛伦兹号差），自由粒子沿测地线运动。这一观点使微分几何成为现代物理的语言。

需先掌握黎曼流形与测地线方程；完整的场方程见爱因斯坦方程。

时空模型

时空是 4 维洛伦兹流形 $(M,g)$，度量号差取 $(-,+,+,+)$（每点切空间号差为 1 负 3 正）。类时曲线代表观察者世界线，类光曲线代表光信号。

测地线运动

自由落体（无外力）的世界线是类时测地线：

$$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$$

其中的协变导数来自度量唯一的Levi-Civita联络。

与经典极限的联系

• 牛顿引力是弱场低速极限：$g_{00}\approx -(1+2\phi/c^2)$，$\phi$ 为引力势
• 潮汐效应是曲率的表现，见测地线偏差方程

应用

广义相对论预言引力红移、光线偏折、水星近日点进动与引力波；其核心方程为爱因斯坦方程，宇宙学模型与常曲率空间的洛伦兹版本（de Sitter / anti-de Sitter 时空）密切相关。