微分流形

微积分研究的函数定义在 $\mathbb{R}^n$ 上，而球面、环面这类空间整体并不是平的。微分流形把这些空间在局部看成欧氏空间，并给出"可微"的严格定义，从而把微积分搬到一般空间上——它是现代微分几何、拓扑学与理论物理的公共舞台。

需先掌握拓扑流形（Hausdorff、第二可数、局部欧氏）与连续映射与同胚；微分流形就是在拓扑流形的基础上进一步要求坐标变换光滑。

定义

一个拓扑空间 $M$ 称为 $n$ 维微分流形，若：

1. $M$ 可被一组开集 $U_i$ 覆盖；
2. 每个 $U_i$ 与 $\mathbb{R}^n$ 的开集存在同胚映射 $\varphi_i$；
3. 不同坐标图之间的过渡映射 $\varphi_j \circ \varphi_i^{-1}$ 在重叠区上是光滑的。

满足条件的覆盖 $\{(U_i,\varphi_i)\}$ 称为光滑图册；全体相容图册的极大者给出流形的光滑结构。若只要求过渡映射连续，则退化为拓扑流形。

几何直觉

流形在局部"看起来像" $\mathbb{R}^n$，但整体可能是曲的或封闭的，例如：

• 圆周 $S^1$（1 维流形）
• 球面 $S^2$
• 李群（如 $SO(3)$，见李群）

核心概念

• 切空间 $T_pM$：流形上点 $p$ 处所有切向量的集合（见切空间）
• 光滑映射：在局部坐标中可无限微分的函数（见光滑映射）
• 向量场 / 张量场：定义在流形上的光滑截面（见向量场与流、张量场）

性质

• 维数是良定义的流形不变量（不同坐标卡给出相同的 $n$）
• 微分流形必为拓扑流形；同胚的流形未必微分同胚（Milnor 怪球，见手术理论）
• 紧致光滑流形可嵌入某个 $\mathbb{R}^N$（Whitney 嵌入定理）；嵌入是浸入与浸没的特殊情形

与李群的关系

每个李群都是一个光滑流形，其群运算是光滑映射。李群的切空间在单位元处形成李代数。

应用

流形上的联络、度量、曲率构成了--微分几何--的主要研究对象：第一基本形式是黎曼度量的二维特例，测地线是度量下"最短路径"的推广；黎曼几何一章将在流形上添加度量，使曲率、平行移动等概念得以定义。