仿射联络

流形上不同点的切空间没有天然的"对应"：$\mathbb{R}^n$ 中求导 $\partial_X Y$ 依赖平行移动坐标架，而一般流形上这需要额外的结构。仿射联络就是规定"沿向量场求导"的规则，它是协变导数与平行移动的基础。

需先掌握切空间与向量场与流，并熟悉张量场。

定义

光滑流形 $M$ 上的仿射联络是映射 $\nabla:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)$，$(X,Y)\mapsto\nabla_X Y$，满足：

1. $C^\infty$ 线性于 $X$：$\nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_X Z+g\nabla_Y Z$
2. $\mathbb{R}$ 线性于 $Y$：$\nabla_X(Y+Z)=\nabla_X Y+\nabla_X Z$
3. Leibniz 法则：$\nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_X Y$

$\nabla_X Y$ 读作"$Y$ 沿 $X$ 的协变导数"。

Christoffel 符号

在坐标卡下记 $\partial_i=\partial/\partial x^i$，联络由 $n^3$ 个函数完全确定：

$$\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\,\partial_k$$

$\Gamma^k_{ij}$ 称为 Christoffel 符号（此处仅是联络系数；带度量时由度量公式给出，见Levi-Civita联络）。

示例

• $\mathbb{R}^n$ 的平坦联络：$\nabla_X Y=(X(Y^i))\partial_i$，即普通方向导数
• 曲面上的黎曼联络：曲面论中由第一基本形式（度量）导出的联络，其 Christoffel 符号满足 Levi-Civita 公式

应用

同一流形上联络不唯一；带度量时Levi-Civita联络是"无挠且保度量"的唯一选择。联络的"曲率" $\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ 正是黎曼曲率张量。