截面曲率

黎曼曲率张量包含很多独立分量，很难直接把握。截面曲率提取"沿每个二维平面，空间在该平面方向弯曲多少"，是曲率最直观的标量体现，且足以重建整个曲率张量。

需先掌握黎曼曲率张量与黎曼度量。

定义

对 $p\in M$ 及线性无关的 $v,w\in T_pM$，张成的平面 $\Pi=\operatorname{span}\{v,w\}$ 的截面曲率为

$$K(\Pi)=\frac{g(R(v,w)w,v)}{g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^2}$$

$K$ 只依赖 $\Pi$ 本身，与基的选取无关；分母正是 $v,w$ 张成的平行四边形面积平方。

性质

• 已知所有截面曲率可以完全确定黎曼曲率张量（极化恒等式）
• 二维曲面：$K(\Pi)$ 就是高斯曲率 $K$
• 常截面曲率 $c$ 的流形满足 $R(X,Y)Z=c\big(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y\big)$

示例

• 欧氏空间：$K=0$
• 单位球面 $S^n$：$K=1$
• 双曲空间 $\mathbb{H}^n$：$K=-1$
• 圆柱面：$K=0$（可展，局部等距于平面）

应用

正/负曲率决定测地线的发散行为与全局拓扑（如 Bonnet–Myers、Cartan–Hadamard 定理）；常曲率空间的分类由截面曲率直接给出。