平行移动

"把向量从一点搬到另一点而不改变"在流形上需要定义：沿曲线保持协变导数为零，就是平行移动。它是欧氏空间平移概念的推广，也是理解曲率的最直观入口。

需先掌握协变导数与Levi-Civita联络。

定义

向量场 $V$ 沿曲线 $\gamma$ 平行，若

$$\frac{DV}{dt}=0$$

给定起点向量 $V_0\in T_{\gamma(a)}M$，一阶线性常微分方程的解唯一给出沿 $\gamma$ 的平行向量场，从而定义线性同构

$$P_\gamma:T_{\gamma(a)}M\to T_{\gamma(b)}M,\qquad V_0\mapsto V(\gamma(b))$$

称沿 $\gamma$ 的平行移动。

性质

• Levi-Civita 联络下平行移动是等距：保长度与夹角（$g(P_\gamma X,P_\gamma Y)=g(X,Y)$）
• 沿曲线复合：$P_{\gamma_2\circ\gamma_1}=P_{\gamma_2}\circ P_{\gamma_1}$
• 一般情形结果依赖路径：绕闭曲线一周向量通常发生旋转，偏离程度由曲率刻画

和乐

固定基点 $p$，沿所有以 $p$ 为基点的闭曲线平行移动构成和乐群 $\mathrm{Hol}_p(M)\subset O(T_pM)$；它反映流形的整体曲率信息。

示例

• $\mathbb{R}^n$：平行移动即普通平移，与路径无关
• 球面 $S^2$ 上沿大圆平行移动：切向量相对大圆方向保持固定夹角
• 曲面论中测地线的特征：速度向量沿自身平行

应用

$\gamma'$ 沿自身平行即测地线方程；沿无穷小平行四边形平行移动一周的"差额"正是黎曼曲率张量的几何定义。