微分形式

体积、通量、做功这些"可以被积分"的量，其被积表达式都是微分形式。外微分 $d$ 满足 $d^2=0$，把微积分基本定理推广为 Stokes 定理，并借 de Rham 上同调把分析连到拓扑。

需先掌握余切空间与张量场，并熟悉外积（楔积）的代数。

定义

$M$ 上的 $k$-形式是反对称的 $(0,k)$ 型张量场。$k=0$ 时即光滑函数；$k=1$ 时即余切向量场。全体 $k$-形式记为 $\Omega^k(M)$。

楔积 $\wedge$ 把 $k$-形式与 $l$-形式结合为 $(k+l)$-形式（反对称张量积）；坐标下

$$\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k}\omega_{i_1\dots i_k}\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$$

外微分 $d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$ 是满足下列性质的唯一算子：

1. $d(f)=df$（函数的外微分即全微分）；
2. $d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta$；
3. $d^2=0$。

性质

• $d^2=0$ 给出 de Rham 复形 $\cdots\to\Omega^k\to\Omega^{k+1}\to\cdots$；满足 $d\omega=0$ 的称为闭形式，$\omega=d\eta$ 的称为恰当形式
• 商空间 $H^k_{\mathrm{dR}}(M)=\ker d/\operatorname{im}d$ 是 de Rham 上同调，是流形的拓扑不变量
• 光滑映射的拉回 $f^*$ 满足 $f^*d=df^*$（自然性）
• Stokes 定理：对带边 $n$ 维流形 $M$ 与 $(n-1)$-形式 $\omega$，

$$\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$$

示例

• $0$-形式：函数；$1$-形式：$df$、做功 $F_1dx+F_2dy+F_3dz$
• $\mathbb{R}^3$ 中 $d$ 对应 $\mathrm{grad},\mathrm{curl},\mathrm{div}$（$0,1,2$-形式依次映到 $1,2,3$-形式）
• 体积形式（见可定向流形）是处处非零的 $n$-形式

应用

Stokes 定理统一 Green、Gauss、Stokes 公式；de Rham 上同调与同伦、基本群等拓扑量联系；电磁场、规范场（陈-西蒙斯理论）都用微分形式表述。