可定向流形

"带符号的积分"（如定向曲面上的曲面积分）要求流形上能一致地指定正方向——这就是可定向性。莫比乌斯带无法做到，因而是不可定向流形的经典例子。

需先掌握微分流形、微分形式与张量场。

定义

$n$ 维流形 $M$ 称为可定向的，若下列等价条件之一成立：

1. 存在处处非零的 $n$-形式（体积形式）$\omega$；
2. 存在坐标图册使所有过渡映射的 Jacobi 行列式均为正；
3. （对连通流形）$M$ 的定向二重复盖是平凡的。

$M$ 的一个定向是体积形式的正等价类；连通可定向流形恰有两个定向。

性质

• 可定向性是微分同胚不变量
• 球面 $S^n$（$n\ge1$）、环面 $T^n$ 可定向；射影空间 $\mathbb{R}P^n$ 可定向当且仅当 $n$ 为奇数
• 莫比乌斯带、克莱因瓶不可定向（见曲面分类定理）
• $M\times N$ 可定向当且仅当 $M,N$ 都可定向

与曲面的联系

$\mathbb{R}^3$ 中的正则曲面可定向当且仅当存在整体光滑单位法向量场（见切平面与法向量）；高斯映射 $N:S\to S^2$ 的度 $\deg N=\tfrac12\chi(S)$ 需要定向才有意义（见高斯映射）。

应用

可定向性是微分形式积分（Stokes 定理）的前提；Gauss-Bonnet定理要求曲面可定向；物理中的体积元、旋量场都依赖流形的定向结构。