切空间

要在流形上"求导"，必须在每一点有一个线性近似空间。流形没有整体向量结构，"位移"无法直接定义切向量，于是用方向导数（导子）来刻画——切空间正是流形上微积分的线性化舞台。

需先掌握微分流形与光滑映射，并熟悉线性空间。

定义

设 $M$ 为 $n$ 维微分流形，$p\in M$。$C^\infty(M)$ 上满足 Leibniz 法则的线性映射 $D:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$（$D(fg)=D(f)g(p)+f(p)D(g)$）称为 $p$ 处的导子。全体导子构成 $p$ 处的切空间 $T_pM$，其元素称为切向量。

在坐标卡 $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ 下，

$$\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p(f)=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i}\Big|_{\varphi(p)}$$

构成 $T_pM$ 的一组基，故 $\dim T_pM=n$，且该维数与坐标卡选取无关。

推前映射

光滑映射 $f:M\to N$ 在 $p$ 处的微分（推前）

$$df_p:T_pM\to T_{f(p)}N,\qquad df_p(X)(g)=X(g\circ f)$$

在坐标下由 Jacobi 矩阵表示；沿曲线的切向量可写为 $[\gamma]=\gamma'(0)$。

性质

• 链式法则：$d(g\circ f)_p=dg_{f(p)}\circ df_p$
• 切空间是局部对象：$T_pM$ 只依赖 $p$ 的任意小邻域
• 微分同胚 $f$ 在每点给出线性同构 $df_p$
• 切向量可等价地定义为过 $p$ 的曲线芽的等价类

示例

• $M=\mathbb{R}^n$：$T_p\mathbb{R}^n\cong\mathbb{R}^n$，基为 $\partial/\partial x^i$
• 球面 $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$：$T_pS^n=\{v\in\mathbb{R}^{n+1}:v\cdot p=0\}$（法向量正交补）

应用

切空间是向量场与流、微分形式与张量场的原料；第一基本形式正是切空间上的内积场，浸入与浸没则由 $df_p$ 的单射/满射性判定。