余切空间

切向量的"对偶"空间同样重要：函数的微分 $df$ 是切空间上的线性泛函，把所有这样的泛函收集起来就得到余切空间——它是微分形式（可积分对象）的逐点原料。

需先掌握切空间与线性空间的对偶概念，并熟悉光滑映射。

定义

$p$ 处的余切空间是切空间的对偶空间

$$T_p^*M=(T_pM)^*=\{\omega:T_pM\to\mathbb{R}\ \text{线性}\}$$

其元素称为余切向量或 1-形式。在坐标卡下，对偶基为 $dx^1,\dots,dx^n$，满足 $dx^i(\partial/\partial x^j)=\delta^i_j$。

光滑函数 $f\in C^\infty(M)$ 的全微分为

$$df_p=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\,dx^i\in T_p^*M$$

性质

• $\dim T_p^*M=n$，与切空间对偶配对 $\langle\omega,X\rangle=\omega(X)$
• 拉回：光滑映射 $f:M\to N$ 诱导 $f^*_p:T^*_{f(p)}N\to T^*_pM$，$(f^*\omega)(X)=\omega(df_pX)$，方向与 $df$ 相反（反变）
• $dx^i$ 的坐标变换由过渡映射的逆 Jacobi 矩阵给出

示例

• $\mathbb{R}^n$：$T^*_p\mathbb{R}^n\cong\mathbb{R}^n$，$df=\sum\partial_i f\,dx^i$
• 约束力学中，余切丛 $T^*M$ 是哈密顿系统的相空间（位置 + 动量）

应用

余切空间是微分形式（反对称余切张量场）与张量场的组成部分；余切丛 $T^*M$ 上的辛结构是哈密顿力学的舞台。