外积

本页讨论三维有定向欧几里得空间中的叉积 $\times:\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3$，通常也称向量积；其定义依赖内积与定向。

应与外代数中的楔积 $u\wedge v\in\Lambda^2V$ 区分：若 $\dim V=n$，则 $\dim\Lambda^2V=n(n-1)/2$，楔积本身不要求内积或定向。三维时选择度量和定向后，才可把二重向量对应为叉积向量。二维楔积空间虽为一维，也需选定基才能用标量表示。

对于三维空间的外积运算：

$$\vec{c}=\vec{n_1}\times \vec{n_2}$$

$\vec{c}$ 的模长 $\mid\vec{c}\mid=\mid \vec{n_1}\mid\mid \vec{n_2}\mid \sin \theta$, 即$\vec n_1$，$\vec n_2$组成的平行四边形面积

右手螺旋定则
$\vec{c}$ 的方向根据右手定则确定:
四指旋向为$\vec n_1\rightarrow \vec n_2$时, 拇指的方向

外积的行列式表示

使用行列式计算三维向量外积：

$$\vec{c} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$

推论

• 反交换律: $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
• 与向量加法的分配律：${} \vec a\times(\vec b +\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c {}$
• 与实数乘法的结合律：$k(\vec a\times\vec b) = (k\vec a)\times\vec b = \vec a\times(k\vec b)$

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反对称矩阵表示外积

给定两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)^T$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)^T$，它们的外积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，其每个分量定义如下：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$$

固定 $\vec a$ 后，$\vec b\mapsto\vec a\times\vec b$ 的线性由上面的分配律和数乘律立即推出，因此我们可以构造一个矩阵，使得该矩阵与另一个向量相乘等效于外积。

设 $\boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)^T$，我们希望找到一个矩阵 ${\Omega}$，使得对于任何向量 $\vec {r} = (x, y, z)^T$，有：

$$\boldsymbol{\omega} \times \vec {r} = {\Omega} \vec{r}$$

根据向量外积的定义：

$$\boldsymbol{\omega} \times \vec{r} = \begin{pmatrix} \omega_2 z - \omega_3 y \\ \omega_3 x - \omega_1 z \\ \omega_1 y - \omega_2 x \end{pmatrix}$$

按行分量将结果写成矩阵形式：

$$\boldsymbol{\omega} \times \vec{r} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

从而得到矩阵 ${\Omega}$：

$${\Omega} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix}$$

这是一个反对称矩阵