外积

Cyletix大约 2 分钟

n维线性空间中( $n\geq 2$ ), 向量与向量的二元运算, 映射结果到线性空间，得到一个 $n(n-1)/2$ 维度的新向量( $n=2$ 时得到的实际上是一个标量) 外积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与点积之不同的是，外积还依赖于定向或右手定则

对于三维空间的外积运算：

\vec{c}=\vec{n_1}\times \vec{n_2}

$\vec{c}$ 的模长 $\mid\vec{c}\mid=\mid \vec{n_1}\mid\mid \vec{n_2}\mid \sin \theta$ , 即 $n_1$ ， $n_2$ 组成的平行四边形面积

右手螺旋定则 $\vec{c}$ 的方向根据右手定则确定: 四指旋向为 $n_1\rightarrow n_2$ 时, 拇指的方向

外积的行列式表示

使用行列式计算三维向量外积：

\vec{c}=\vec{n_1}\times \vec{n_2}= \begin{vmatrix} i&j&k\\ x_1&y_1&z_1\\ _2&y_2&z_2 \end{vmatrix}

交换律: $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
与向量加法的分配律： ${} \vec a\times(\vec b +\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c {}$
与实数乘法的结合律： $k(\vec a×\vec b) = (k\vec a)×\vec b = \vec a×(k\vec b)$

给定两个向量 ${a} = (a_1, a_2, a_3)^T$ 和 ${b} = (b_1, b_2, b_3)^T$ ，它们的外积 ${a} \times {b}$ 是一个向量，其每个分量定义如下：

{a} \times {b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

这个过程也可以看成变换a作用在向量b上，这个作用是线性的(待证明)，因此我们可以构造一个矩阵，使得该矩阵与另一个向量相乘等效于外积。

设 $\boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)^T$ ，我们希望找到一个矩阵 ${\Omega}$ ，使得对于任何向量 ${r} = (x, y, z)^T$ ，有：

\boldsymbol{\omega} \times {r} = {\Omega} {r}

根据向量外积的定义：

\boldsymbol{\omega} \times {r} = \begin{pmatrix} \omega_2 z - \omega_3 y \\ \omega_3 x - \omega_1 z \\ \omega_1 y - \omega_2 x \end{pmatrix}

按行分量将结果写成矩阵形式：

\boldsymbol{\omega} \times {r} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

从而得到矩阵 ${\Omega}$ ：

{\Omega} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix}