同伦

同伦把"两个空间本质上相同"的判断从同胚放宽为"可连续形变相互得到"：同胚分类过于精细，而许多空间性质（如基本群）在更粗的同伦等价下已保持不变。

需先掌握拓扑空间与连续映射与同胚；理解道路 $I=[0,1]$ 与形变过程。

定义

设 $f,g:X\to Y$ 连续。若存在连续映射 $H:X\times I\to Y$（$I=[0,1]$）满足 $H(x,0)=f(x)$、$H(x,1)=g(x)$，则称 $f$ 与 $g$ 同伦，记 $f\simeq g$；$H$ 称为从 $f$ 到 $g$ 的同伦。保持基点（$H(x_0,t)=y_0$ 恒成立）的同伦称为保基点同伦。

同伦等价：存在 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to X$ 使 $g\circ f\simeq\operatorname{id}_X$ 且 $f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y$，则称 $X$ 与 $Y$ 同伦等价，记 $X\simeq Y$。

形变收缩：若 $A\subseteq X$ 是收缩核（存在 $r:X\to A$ 满足 $r|_A=\operatorname{id}_A$）且 $i\circ r\simeq\operatorname{id}_X$（$i:A\hookrightarrow X$ 为包含映射），则 $A$ 称为 $X$ 的形变收缩核。

可缩空间：与单点空间同伦等价的空间。

性质

• 同伦是映射空间上的等价关系，且与映射复合相容
• 同胚 $\Rightarrow$ 同伦等价，反之不成立（如 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\simeq S^{n-1}$ 但两者不同胚）
• 同伦不变量：代数拓扑中由连续映射构造的代数对象——基本群、同调群、同伦群——在保基点同伦下不变，故同伦等价的空间具有相同的这些不变量
• 形变收缩核与全空间同伦等价；可缩空间 $\iff$ 恒等映射同伦于常值映射

示例

• $\mathbb{R}^n$、$I=[0,1]$、$\mathbb{R}^n$ 中任意凸集均可缩
• $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\simeq S^{n-1}$：$r(x)=x/|x|$ 是形变收缩
• $S^n$ 不可缩：$S^n$ 的同调群 $H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$ 非平凡，而单点空间所有同调群为 $0$

应用

同伦与同伦等价是同伦论的等价关系基准；判定两个空间"代数上不可区分"用同伦等价，而基本群、同调群、同伦群等不变量的计算都从同伦类出发。