浸入与浸没

光滑映射的微分在每点可能是单射或满射，分别对应浸入与浸没：浸入把低维流形"铺"进高维空间，浸没则把高维流形"压"向低维。二者是子流形与纤维结构的来源。

需先掌握光滑映射与切空间（推前映射 $df_p$）。

定义

设 $f:M^m\to N^n$ 光滑。

• 若 $df_p$ 在每点都是单射，则 $f$ 称为浸入（必要 $m\le n$）
• 若 $df_p$ 在每点都是满射，则 $f$ 称为浸没（必要 $m\ge n$）
• 若 $f$ 是单射浸入，且 $M\to f(M)$ 是到像的同胚，则 $f$ 称为嵌入

常数秩定理

若 $df$ 的秩处处为常数 $r$，则局部存在坐标使 $f$ 具有标准形

$$(x^1,\dots,x^r)\mapsto(x^1,\dots,x^r,0,\dots,0)$$

浸入与浸没是该定理 $r=m$ 与 $r=n$ 的特例。

性质

• 浸没是开映射，且纤维 $f^{-1}(q)$ 是 $m-n$ 维子流形
• 浸入的像带子空间拓扑时未必是嵌入（单射浸入的像可能"自交"）
• 嵌入的子流形继承唯一的子流形结构（见子流形）
• 紧流形上的单射浸入必为嵌入

示例

• 球面 $S^2\hookrightarrow\mathbb{R}^3$ 是嵌入
• 8 字形曲线 $\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$，$t\mapsto(\sin 2t,\sin t)$ 是单射浸入但不是嵌入（像非流形）
• 投影 $\pi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ 是浸没；$\pi:TM\to M$ 是浸没（见切丛）

应用

正则值定理（子流形）用浸没给出水平集子流形；嵌入曲面即正则曲面；纤维丛与覆盖空间（见覆盖空间）的投影都是浸没。