向量场与流

向量场给流形上每一点指定一个切向量，直观上就是"在每个点放一个方向箭头"。沿向量场运动的轨迹由常微分方程描述，把动力系统与流形几何联系起来。

需先掌握切丛与切空间，并熟悉微分方程基本概念（解的存在唯一性）。

定义

$M$ 上的光滑向量场是光滑截面 $X:M\to TM$，即 $\pi\circ X=\mathrm{id}_M$。等价地，$X$ 是 $C^\infty(M)$ 上的导子：对 $f\in C^\infty(M)$，$Xf(p)=df_p(X_p)$。

过 $p$ 的积分曲线是满足

$$\gamma'(t)=X(\gamma(t)),\qquad \gamma(0)=p$$

的光滑曲线 $\gamma:(a,b)\to M$。

流

由常微分方程理论，$X$ 在每点附近有唯一积分曲线，它们拼成局部流 $\varphi_t$；若对所有 $t\in\mathbb{R}$ 都有定义，则 $X$ 称为完备的（紧流形上的向量场必完备）。此时 $\{\varphi_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是 $M$ 的单参数微分同胚群：

$$\varphi_{s+t}=\varphi_s\circ\varphi_t,\qquad \varphi_0=\mathrm{id}$$

性质

• 两个向量场的李括号 $[X,Y]=XY-YX$ 仍是向量场（导子封闭）
• 流与函数交换：$\frac{d}{dt}(f\circ\varphi_t)=Xf\circ\varphi_t$
• 沿流求导给出李导数 $\mathcal{L}_X f=Xf$，可推广到张量场与微分形式

示例

• $\mathbb{R}^n$ 上常向量场 $X=\partial/\partial x^1$：积分曲线为平行直线
• $S^1$ 上的旋转向量场：流为匀速圆周运动
• 微积分中的梯度、旋度向量场（见向量场）在流形上的推广

应用

测地线是二阶方程在流形上的解，可化为切丛上的一阶向量场（测地流）；拓扑动力系统与混沌研究流的长时行为；李导数与微分形式构成微分几何的计算工具。